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Blog a cura della 2C SPES

CL@SSE 2.0

(Indirizzo: Sperimentale per l'Economia dei Servizi)

Cecina (LI)

Siamo gli studenti della classe IIC dell'Istituto Tecnico Commerciale Cattaneo (liceo economico 2.0) di Cecina (LI). La nostra classe 2.0 è stata suddivisa in cinque gruppi formati da quattro alunni ciascuno, per lavorare sulla FULL IMMERSION che ha come argomento "La Spirale". Il nostro gruppo si occupa della presenza della spirale nel campo della geometria e dell'algebra.

GRUPPO DI LAVORO:Biagi Federico,Chiti Filippo,Cicalini Chiara,Ugolotti Dario

Le Spirali

Spirale di Archimede

La spirale archimedea è stata inventata dal matematico,fisico e inventore greco Archimede (Siracusa, 287 a.C. – Siracusa, 212 a.C.).

Essa si sviluppa in modo tale che la distanza tra una "spira”e l'altra rimanga sempre uguale.

 L'equazione si rappresenta come:  

r=a*n*q 

dove [r] rappresenta  il raggio della spirale (o meglio la sua distanza dal centro nel punto considerato) ;

la [a] è la costante che definisce il passo fra i bracci di spirale;

[n] è il numero di giri compiuti dalla spirale;

e infine [q] è l'angolo preso in considerazione;

Costruzione:

Prendiamo due punti A e B e consideriamo una semicirconferenza di centro A e raggio AB. Puntiamo ora in B e, partendo da 1 tracciamo un’altra semicirconferenza di raggio 2 AB. Abbiamo costruito la base di una spirale di Archimede di passo costante: due volte la lunghezza del segmento AB. Puntando alternativamente in A e B e aggiungendo ogni volta al raggio precedente la lunghezza del segmento AB si crea la spirale di Archimede. 

PROPORZIONI AUREE

Presentiamo la trattazione geometrica della sezione aurea, partendo dai concetti principali e arrivando alla sua applicazione nelle figure geometriche, verificandone le proprietà.

Sezione aurea o parte aurea indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due.

Se a è la lunghezza maggiore e  b quella minore,

b : a = a : (a+b)

Lo stesso rapporto esiste anche tra la lunghezza minore e la loro differenza:

a : b = b : ( a-b )

In formule, indicando con a la lunghezza maggiore e con b la lunghezza minore, vale la relazione: 

Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della formula:

altro modo per calcolare il valore del numero aureo può essere ricavato dalla costruzione del rettangolo aureo; si può dedurre che equivale a:

Il valore così definito, che esprime la sezione aurea, è un numero irrazionale (cioè non rappresentabile come frazione di numeri interi) e algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi).

RETTANGOLO AUREO

Secondo molti artisti greci e italiani del Rinascimento, il rettangolo che maggiormente soddisfa il nostro senso estetico è quello in cui i lati stanno in rapporto aureo.

Si chiama rettangolo aureo il rettangolo avente un lato che è sezione aurea dell’altro. Ciò significa che il rapporto fra il lato maggiore e quello minore, a : b, è identico a quello fra il lato minore e il segmento ottenuto sottraendo quest'ultimo dal lato maggiore b : a-b.

COSTRUZIONE:

Per disegnare un rettangolo aureo si costruisce dapprima un quadrato, il cui lato corrisponderà al lato minore del rettangolo.
Si trova poi il punto medio di un lato e si punta su di esso un compasso con apertura sino a un vertice (non adiacente) del quadrato.

Il punto nel quale la circonferenza interseca il prolungamento del lato determina il secondo estremo del lato maggiore del rettangolo.

La dimostrazione è veloce:

Considerando 1 il lato del quadrato, l'apertura del compasso che punta nel punto medio risulta, applicando il teorema di Pitagora:

.

Considerando che il segmento di tale lunghezza va aggiunto ad una porzione pari a ½ del lato, il lato maggiore costruito misurerà complessivamente:

Il rettangolo aureo può essere ricavato anche all'interno del perimetro del quadrato, con un metodo che ricalca quello usato per dividere un segmento in proporzione aurea:

1. Si traccia una diagonale da un vertice a uno dei punti medi dei lati.

2. Si riporta sulla diagonale una lunghezza uguale a ½ lato del quadrato.
3. La lunghezza restante la si riporta su un lato, completando poi il rettangolo.

Il rettangolo di maggiori dimensioni così ottenuto è un rettangolo aureo, che sta in proporzione 1/φ al quadrato iniziale, mentre il più piccolo ricavato è uguale alla somma di tutti i rettangoli aurei ricavabili all'interno del principale.

Ripetendo più volte tale costruzione, si ottiene una successione di quadrati, ognuno dei quali ha il lato che è sezione aurea del lato del quadrato successivo. Costruendo in ogni quadrato un arco di circonferenza come indicato nella figura, si ottiene una curva detta spirale logaritmica o spirale aurea.

SPIRALE AUREA

La spirale aurea ( o logaritmica) fu descritta per la prima volta da Cartesio nel 1638.  Altre sue proprietà furono scoperte dopo cinquanta anni da Jackob Bernoulli, matematico svizzero, che la definì “spirale meravigliosa”. Ne rimase affascinato a tal punto che richiese di averne una scolpita sulla sua pietra tombale, accompagnata dalla scritta latina "Eadem mutata resurgo" (Sebbene cambiata, rinasco identica).  A differenza della spirale di Archimede, il passo della spirale aurea non è constante ma segue una progressione geometrica. Il matematico svizzero Jacob Bernoulli la definì “ la spirale meravigliosa”. La Spirale Aurea è basata su una serie di quadrati che possono essere costruiti dentro il rettangolo aureo:

	Per iniziare la costruzione si disegna un arco da un angolo del         rettangolo fino ad intersecare il lato adiacente. Quindi    conduciamo un segmento perpendicolare al lato che è stato  intersecato, dal punto d'intersezione al lato opposto.
	Ripetiamo il procedimento per formare un altro quadrato...
	.. e così via.
	Disegnando archi con sequenze di quadrati, si può costruire la  spirale logaritmica nota come Spirale Aurea.

La Piramide di Cheope

PIRAMIDE DI CHEOPE

La piramide di Cheope fu costruita in base al volere dei sacerdoti che volevano l’area di ogni faccia triangolare pari a quella del quadrato avente per lato l’altezza della piramide stessa, misurata dall’apice del monumento sino al terreno.                                                                                                                                   

 

Da questa regola si ottiene un triangolo aureo. Infatti, l’area di ogni faccia triangolare è pari a: 

 

poichè l’ipotenusa c del triangolo in sezione costituisce l’altezza della faccia della piramide.
L’equazione imposta dai sacerdoti sarebbe dunque  b² = ac,  b è l’altezza della piramide.

Applicando sempre al triangolo abc anche il teorema di Pitagora, otteniamo  b²  = c² - a²  che sostituita nella (*) dà   ac = c² - a²  

da qui otteniamo i due valori di c

       

Trascurando il valore negativo, possiamo calcolare il rapporto che deve esistere tra c ed a

In base alla (*) ricaviamo anche b, per cui assegnata la misura a del semilato della base della piramide, le altre dimensioni si calcolano di conseguenza

   Ponendo a = 1 si ottiene il triangolo aureo, di lati 

All’origine la piramide di Cheope misurava 230 m. circa di lato di base per 147 m. circa di altezza, con facce inclinate di circa 51°50”. In base a questi dati è facile fare qualche semplice calcolo: a = 230/2m = 115 m.,  b = 147 m e c = 186,64 m.
A questo punto possiamo verificare il rapporto

che risulta essere vicinissimo al valore della sezione aurea. 

Pitagora e Platone

PITAGORA 

Matematico e filosofo del sec. 6º a. C., nato a Samo nella prima metà del VI sec. A.C. Fu scolaro di Ferecide e di Anassimandro. Un dato di rilievo è il suo trasferimento dalla Grecia in Italia meridionale dove fondò, a Crotone, una celebre scuola filosofica, che è considerata fonte e origine della cosiddetta «filosofia italica». La dottrina che caratterizza, più comunemente, la filosofia pitagorica è quella che considera il numero come essenza di tutte le cose, in quanto ogni aspetto del reale veniva ricondotto a una reciproca relazione o armonia di quantità numerabili. Tutti i numeri, per i Pitagorici, erano suddivisi in due classi, dei pari e dei dispari.

STELLA PITAGORICA Uno dei simboli esoterici della scuola pitagorica era il pentagono stellato, chiamato anche pentagramma. Si disegna tracciando tutte le diagonali possibili di un pentagono regolare fino ad ottenere una stella a 5 punte.  Questa figura, come vedremo, possiede numerose proprietà, la più interessante delle quali è costituita dal fatto che la figura che si ottiene all'interno della stella è un secondo pentagono che a sua volta può contenere un'altra stella e così via, tracciando stelle e pentagoni sempre più piccoli.

Misurando i segmenti che si ottengono dall'intersezione reciproca delle diagonali, si determina che l'intera diagonale sta alla parte maggiore come la stessa parte maggiore sta alla parte minore. La parte maggiore è quindi la "sezione aurea" del segmento che costituisce la diagonale intera, in un rapporto che è f= 1,618.. (numero d'oro) Nel Timeo, Platone sostiene che la stella rappresenta i 5 elementi, cioè ogni elemento corrisponde a una delle 5 punte. I 5 solidi Platonici                            Platone è stato un filosofo greco, nato ad Atene nel 428 a.C e morto nel 348 a.C.  Nell’opera, Platone racconta l’origine del mondo che avviene per opera del Demiurgo, il divino artefice, che plasma la materia partendo da una situazione di caos, in cui la materia è informe, sul modello della perfezione del mondo iperuranico (in particolare delle idee matematiche). Il primo livello d’ordine della materia viene quindi effettuato attraverso i 4 elementi naturali fondamentali, che Platone associa a 4 dei poliedri regolari. Si servì di queste figure dello spazio ideale della geometria per rappresentare l’essenza degli elementi fondamentali (o almeno allora ritenuti tali) dello spazio fisico: il fuoco, l’acqua, la terra, l’aria. Egli intravide nel tetraedro la forma e il germe generatore delle particelle del fuoco, nell’ottaedro l’essenza delle particelle dell’aria, nell’icosaedro quello delle particelle dell’acqua, mentre identificò nell’esaedro la forma e il germe dei costituenti ultimi della terra. Restava un quinto poliedro regolare, il dodecaedro e, dice Platone, “Dio se ne giovò per decorare l’universo”.

Fibonacci

FIBONACCI 

Leonardo Pisano detto il Fibonacci (Pisa, settembre 1170 – Pisa, 1240) fu un grande matematico italiano.

Nel 1223 a Pisa, si tenne un singolare torneo tra abachisti e algoritmisti, armati soltanto di carta, penna e pallottoliere.

Il test era il seguente: "Quante coppie di conigli si ottengono in un anno (salvo i casi di morte) supponendo che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?".

Un pisano, Leonardo, conosciuto anche come “Fibonacci” vince la gara. Leonardo diede al test una risposta così rapida da far persino sospettare che il torneo fosse truccato: alla fine del primo mese si ha la prima coppia ed una coppia da questa generata; alla fine del secondo mese si aggiunge una terza coppia, ma vi sono due coppie in più, perché anche la seconda coppia ha cominciato a generare, portando il conto a 5 coppie, e così via. Il ragionamento prosegue con la seguente progressione:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393...

Con questo stratagemma fu facile per il Fibonacci trovare la risposta esatta.

Ogni nuovo numero non rappresenta che la somma dei due che lo precedono. Questa serie, oggi nota come "numeri di Fibonacci" presenta alcune proprietà (ad esempio, se divido un qualsiasi numero per il suo precedente otterrò un risultato simile al numero aureo).

Esempio:   21 ² =(13*34)-1= 441    e

                  89 ² =(55*144)+1= 7921  

Matematici, filosofi e artisti

JACOB BERNOULLI

Jacob Bernoulli è nato a Basilea ( 27 dicembre 1654- 16 agosto 1705) , in Svizzera . Dopo il desiderio di suo padre, ha studiato teologia ed è entrato nel ministero. Ma contrariamente ai desideri dei suoi genitori, ha anche studiato la matematica e l'astronomia .  Ha viaggiato in tutta l'Europa 1676-1682, conoscendo le ultime scoperte nel campo della matematica e delle scienze. Nel 1690, Jacob Bernoulli divenne la prima persona a sviluppare la tecnica per la risoluzione di equazioni differenziali separabili.

Bernoulli ha scelto una figura di una spirale logaritmica, o come veniva chiamata da lui “ la spirale meravigliosa” e il motto Eadem mutata resurgo ("Cambiato e ,ancora lo stesso, mi alzo di nuovo") per la sua lapide; la spirale eseguita dagli scalpellini era, tuttavia, una spirale di Archimede.  Bernoulli ha scritto che la spirale logaritmica ‘può essere usato come un simbolo, o di fortezza e costanza nelle avversità, o del corpo umano, che, dopo tutti i suoi cambiamenti, anche dopo la morte, sarà restituito alla sua precisa e perfetta auto’.

LUCA PACIOLI

Luca Pacioli (detto pure Luca di Borgo, Frate Luca di Borgo). -Matematico (Borgo San Sepolcro 1445 - Roma 1517). Frate francescano, insegnò matematica in molte città italiane e fu autore del primo trattato generale di aritmetica e algebra pubblicato a stampa (1494). Amico di Leonardo da Vinci, cercò di dedurre i principi dell'architettura e dell'anatomia umana dalla matematica.

Pacioli e Leonardo si incontrano a Milano nel 1496 , alla corte di Ludovico Sforza  il 9 Febbraio. Pacioli ha 51 anni e Leonardo 44; qui lavoreranno insieme fino al 1499.

LEONARDO DA VINCI

Leonardo  da Vinci (Vinci, 15 aprile 1452 – Amboise, 2 maggio 1519) è stato un pittore, ingegnere e scienziato italiano. Si occupò di architettura e scultura, fu disegnatore,   trattatista,   scenografo, anatomista, musicista e, in generale, progettista e inventore. È considerato uno dei più grandi geni dell'umanità.

Leonardo è sempre stato affascinato da alcuni problemi geometrici che risalgono all'antichità classica ed è convinto che la geometria contenga la chiave per interpretare la natura. Durante il periodo trascorso a Milano Leonardo diviene amico del matematico Luca Pacioli, il quale gli fa conoscere gli studi della matematica di Euclide e Archimede. L'amicizia tra i due migliora a tal punto che Leonardo disegna per Pacioli i cinque corpi regolari (tetraedro, ottaedro, icosaedro, esaedro e dodecaedro) che illustravano l'edizione ora perduta del "De Divina Proportione" di Pacioli.

Sitografia

Argomenti e immagini tratti da:

• http://www.macchinedileonardo.com/index.php?biografia-lenardo
• http://www.treccani.it/enciclopedia/tag/luca-pacioli/
• http://www.thefamouspeople.com/profiles/jacob-bernoulli-543.php
• http://www.magiadeinumeri.it/Fibonacci.htm 
• https://drive.google.com/viewerng/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxzZXppb25lMmNzcGVzfGd4OjQ0ZWYzNTczNDFlOWY4MjA
• https://drive.google.com/viewerng/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxzZXppb25lMmNzcGVzfGd4OjIyMzI5MzkxM2JlZjkxMDk
• http://www.treccani.it/enciclopedia/pitagora/
• https://sites.google.com/site/ilrapportoaureo/home/sezione-aurea-in-architettura/piramide-di-keope