(Indirizzo: Sperimentale per l'Economia dei Servizi)
Cecina (LI)
Siamo gli studenti della classe IIC dell'Istituto Tecnico Commerciale Cattaneo (liceo economico 2.0) di Cecina (LI). La nostra classe 2.0 è stata suddivisa in cinque gruppi formati da quattro alunni ciascuno, per lavorare sulla FULL IMMERSION che ha come argomento "La Spirale". Il nostro gruppo si occupa della presenza della spirale nel campo della geometria e dell'algebra.
GRUPPO DI LAVORO:Biagi Federico,Chiti Filippo,Cicalini Chiara,Ugolotti Dario
La spirale archimedea è stata
inventata dal matematico,fisico e inventore greco Archimede (Siracusa, 287 a.C. – Siracusa, 212 a.C.).
Essa si sviluppa in modo tale che la
distanza tra una "spira”e l'altra rimanga sempre uguale.
L'equazione si rappresenta come:
r=a*n*q
dove [r] rappresenta il raggio della spirale (o meglio la sua
distanza dal centro nel punto considerato) ;
la [a] è la costante che
definisce il passo fra i bracci di spirale;
[n] è il numero di giri
compiuti dalla spirale;
e infine [q] è l'angolo
preso in considerazione;
Costruzione:
Prendiamo
due punti A e B e consideriamo una semicirconferenza di centro A e raggio AB.
Puntiamo ora in B e, partendo da 1 tracciamo un’altra semicirconferenza di raggio
2 AB. Abbiamo costruito la base di una spirale di Archimede di passo costante:
due volte la lunghezza del segmento AB. Puntando alternativamente in A e B e
aggiungendo ogni volta al raggio precedente la lunghezza del segmento AB si
crea la spirale di Archimede.
PROPORZIONI AUREE
Presentiamo la trattazione geometrica della
sezione aurea, partendo dai concetti principali e arrivando alla sua
applicazione nelle figure geometriche, verificandone le proprietà.
Sezione
aurea o parte aurea indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio
proporzionale tra la minore e la somma delle due.
Se a è la lunghezza maggiore e b quella minore,
b : a = a : (a+b)
Lo stesso
rapporto esiste anche tra la lunghezza minore e la loro differenza:
a : b = b : ( a-b )
In formule,
indicando con a la lunghezza maggiore e con b la lunghezza minore, vale la
relazione:
Tale
rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della
formula:
altro
modo per calcolare il valore del numero aureo può essere ricavato dalla costruzione
del rettangolo aureo; si può dedurre che equivale a:
Il valore così definito, che esprime la sezione aurea,
è un numero irrazionale (cioè non rappresentabile come frazione di numeri interi) e algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti
interi).
RETTANGOLO AUREO
Secondo molti artisti greci e
italiani del Rinascimento, il rettangolo che maggiormente soddisfa il nostro
senso estetico è quello in cui i lati stanno in rapporto aureo.
Si chiama rettangolo aureo il
rettangolo avente un lato che è sezione aurea dell’altro. Ciò significa che il
rapporto fra il lato maggiore e
quello minore, a : b,
è identico a quello fra il lato minore e il segmento ottenuto sottraendo
quest'ultimo dal lato maggiore b : a-b.
COSTRUZIONE:
Per disegnare un rettangolo aureo si costruisce
dapprima un quadrato, il cui lato
corrisponderà al lato minore del rettangolo.
Si trova poi il punto
medio di un lato e si punta su di esso un compasso con
apertura sino a un vertice (non adiacente) del quadrato.
Il punto nel quale la circonferenza interseca il prolungamento del lato
determina il secondo estremo del lato maggiore del rettangolo.
La dimostrazione
è veloce:
Considerando
1 il lato del quadrato, l'apertura del compasso che punta nel punto medio
risulta, applicando il teorema di Pitagora:
.
Considerando
che il segmento di tale lunghezza va aggiunto ad una porzione pari a ½ del
lato, il lato maggiore costruito misurerà complessivamente:
Il rettangolo aureo può essere ricavato
anche all'interno del perimetro del quadrato, con un metodo che ricalca quello
usato per dividere unsegmento in
proporzione aurea:
1. Si traccia una diagonale da un vertice a uno deipunti medidei lati.
2. Si riporta sulla diagonale una
lunghezza uguale a ½ lato del quadrato.
3. La lunghezza restante la si riporta su un lato, completando poi il
rettangolo.
Il rettangolo di maggiori dimensioni
così ottenuto è unrettangolo
aureo, che sta in proporzione 1/φ al quadrato iniziale, mentre il più
piccolo ricavato è uguale alla somma di tutti i rettangoli aurei ricavabili
all'interno del principale.
Ripetendo più
volte tale costruzione, si ottiene una successione di quadrati, ognuno dei
quali ha il lato che è sezione aurea del lato del quadrato successivo.
Costruendo in ogni quadrato un arco di circonferenza come indicato nella
figura, si ottiene una curva dettaspirale logaritmica o spirale aurea.
SPIRALE AUREA
La spirale aurea ( o logaritmica) fu descritta per la
prima volta da Cartesio nel 1638. Altre
sue proprietà furono scoperte dopo cinquanta anni da Jackob Bernoulli,
matematico svizzero, che la definì “spirale meravigliosa”. Ne rimase
affascinato a tal punto che richiese di averne una scolpita sulla sua pietra
tombale, accompagnata dalla scritta latina "Eadem mutata resurgo"
(Sebbene cambiata, rinasco identica).
A differenza della spirale di Archimede, il passo della spirale aurea
non è constante ma segue una progressione geometrica. Il matematico svizzero
Jacob Bernoulli la definì “ la spirale meravigliosa”.
La Spirale Aurea è basata su una serie di quadrati che possono essere
costruiti dentro il rettangolo aureo:
Per
iniziare la costruzione si disegna un arco da un angolo del rettangolo fino
ad intersecare il lato adiacente. Quindi conduciamo un segmento
perpendicolare al lato che è stato intersecato, dal punto d'intersezione al
lato opposto.
Ripetiamo
il procedimento per formare un altro quadrato...
.. e così
via.
Disegnando
archi con sequenze di quadrati, si può costruire la spirale logaritmica nota
come Spirale Aurea.
La piramide
di Cheope fu costruita in base al volere dei
sacerdoti che volevano l’area di ogni faccia triangolare pari a quella del
quadrato avente per lato l’altezza della piramide stessa, misurata dall’apice
del monumento sino al terreno.
Da questa regola si ottiene un triangolo aureo. Infatti, l’area di ogni
faccia triangolare è pari a:
poichè l’ipotenusa c del triangolo in sezione
costituisce l’altezza della faccia della piramide.
L’equazione imposta dai sacerdoti sarebbe dunque b2 =
ac, b è l’altezza della piramide.
Applicando
sempre al triangolo abc anche il teorema di Pitagora, otteniamo b2 = c2 - a2 che
sostituita nella (*) dà ac = c2 - a2
da qui otteniamo i due valori di c
Trascurando il valore negativo, possiamo calcolare il rapporto che deve
esistere tra c ed a
In base alla (*) ricaviamo anche b, per cui assegnata
la misura a del semilato della base della piramide, le altre dimensioni si
calcolano di conseguenza
Ponendo a = 1 si ottiene il triangolo aureo, di lati
All’origine la piramide di Cheope
misurava 230 m. circa di lato di base per 147 m. circa di
altezza, con facce inclinate di circa 51°50”. In base a questi dati è facile
fare qualche semplice calcolo: a = 230/2m = 115 m., b = 147 m e c
= 186,64 m.
A questo punto possiamo verificare il rapporto
che risulta essere vicinissimo al valore della
sezione aurea.
Matematico e filosofo del sec.6º a. C., nato aSamonella
prima metà del VI sec. A.C. Fu scolaro di Ferecide e di Anassimandro. Un dato
di rilievo è il suo trasferimento dallaGreciainItaliameridionale dove fondò, aCrotone, una celebre scuola
filosofica, che è considerata fonte e origine della cosiddetta «filosofia
italica». La dottrina che caratterizza, più comunemente, la filosofia
pitagorica è quella che considera il numero come essenza di tutte le cose, in
quanto ogni aspetto del reale veniva ricondotto a una reciproca relazione o
armonia di quantità numerabili. Tutti i numeri, per i Pitagorici, erano
suddivisi in due classi, dei pari e dei dispari.
STELLA PITAGORICA Uno dei simboli esoterici della scuola pitagorica era il pentagono
stellato, chiamato
anche pentagramma.
Si disegna tracciando tutte le
diagonali possibili di un pentagono regolare fino ad ottenere una stella a 5
punte. Questa figura, come vedremo, possiede numerose proprietà,
la più interessante delle quali è costituita dal fatto che la figura che
si ottiene all'interno della stella è un secondo pentagono che a sua volta
può contenere un'altra stella e così via, tracciando stelle e pentagoni
sempre più piccoli.
Misurando i segmenti che si ottengono dall'intersezione reciproca delle
diagonali, si determina che l'intera diagonale sta alla parte maggiore come
la stessa parte maggiore sta alla parte minore. La parte maggiore è quindi la
"sezione aurea" del segmento che costituisce la diagonale intera,
in un rapporto che è f= 1,618.. (numero d'oro)
Nel Timeo, Platone sostiene che la stella rappresenta i 5
elementi, cioè ogni elemento corrisponde a una delle 5 punte.
I 5 solidi Platonici
Platone è stato un
filosofo greco, nato ad Atene nel 428 a.C e morto nel 348 a.C.
Nell’opera, Platone racconta l’origine del
mondo che avviene per opera del Demiurgo, il divino artefice, che plasma la
materia partendo da una situazione di caos, in cui la materia è informe, sul
modello della perfezione del mondo iperuranico (in particolare delle idee matematiche). Il primo livello d’ordine
della materia viene quindi effettuato attraverso i 4 elementi naturali
fondamentali, che Platone associa a 4 dei poliedri regolari. Si servì di queste figure dello spazio ideale
della geometria per rappresentare l’essenza degli elementi fondamentali (o
almeno allora ritenuti tali) dello spazio fisico: il fuoco, l’acqua, la terra,
l’aria. Egli intravide nel tetraedro la forma e il germe generatore delle
particelle del fuoco, nell’ottaedro l’essenza delle particelle dell’aria,
nell’icosaedro quello delle particelle dell’acqua, mentre identificò
nell’esaedro la forma e il germe dei costituenti ultimi della terra. Restava un
quinto poliedro regolare, il dodecaedro e, dice Platone, “Dio se ne giovò per
decorare l’universo”.
Leonardo Pisanodetto il Fibonacci (Pisa,settembre1170–Pisa,1240) fu un grandematematicoitaliano.
Nel 1223 a
Pisa, si tenne un singolare torneo tra abachisti e algoritmisti, armati
soltanto di carta, penna e pallottoliere.
Il test era il seguente:
"Quante coppie di conigli si ottengono in un anno (salvo i casi di morte)
supponendo che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese e che le
coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?".
Un pisano, Leonardo, conosciuto
anche come “Fibonacci” vince la gara.Leonardo diede
al test una risposta così rapida da far persino sospettare che il torneo fosse
truccato: alla fine del primo mese si ha la prima coppia ed una coppia da
questa generata; alla fine del secondo mese si aggiunge una terza coppia, ma vi
sono due coppie in più, perché anche la seconda coppia ha cominciato a
generare, portando il conto a 5 coppie, e così via. Il ragionamento prosegue
con la seguente progressione:
Con questo stratagemma fu facile per il Fibonacci
trovare la risposta esatta.
Ogni nuovo numero non rappresenta che
la somma dei due che lo precedono. Questa serie, oggi nota come "numeri
di Fibonacci"presenta
alcune proprietà (ad esempio, se divido un qualsiasi numero per il suo
precedente otterrò un risultato simile al numero aureo).
Jacob
Bernoulli è nato a Basilea ( 27 dicembre 1654- 16 agosto 1705) , in Svizzera .
Dopo il desiderio di suo padre, ha studiato teologia ed è entrato nel
ministero. Ma contrariamente ai desideri dei suoi genitori, ha anche studiato
la matematica e l'astronomia . Ha
viaggiato in tutta l'Europa 1676-1682, conoscendo le ultime scoperte nel campo
della matematica e delle scienze. Nel 1690, Jacob Bernoulli divenne la prima
persona a sviluppare la tecnica per la risoluzione di equazioni differenziali
separabili.
Bernoulli
ha scelto una figura di una spirale logaritmica, o come veniva chiamata da lui
“ la spirale meravigliosa” e il motto Eadem mutata resurgo ("Cambiato e
,ancora lo stesso, mi alzo di nuovo") per la sua lapide; la spirale
eseguita dagli scalpellini era, tuttavia, una spirale di Archimede. Bernoulli ha scritto che la spirale
logaritmica ‘può essere usato come un simbolo, o di fortezza e costanza nelle
avversità, o del corpo umano, che, dopo tutti i suoi cambiamenti, anche dopo la
morte, sarà restituito alla sua precisa e perfetta
auto’.
LUCA
PACIOLI
Luca Pacioli (detto pure Luca di Borgo, Frate Luca
di Borgo). -Matematico (Borgo San Sepolcro 1445 - Roma 1517). Frate
francescano, insegnò matematica in molte città italiane e fu autore del primo
trattato generale di aritmetica e algebra pubblicato a stampa (1494). Amico di
Leonardo da Vinci, cercò di dedurre i principi dell'architettura e
dell'anatomia umana dalla matematica.
Pacioli e Leonardo si incontrano a Milano nel 1496
, alla corte di Ludovico Sforza il 9
Febbraio. Pacioli ha 51 anni e Leonardo 44; qui lavoreranno insieme fino al
1499.
LEONARDO DA VINCI
Leonardo da Vinci(Vinci,15 aprile1452–Amboise,2 maggio1519) è stato unpittore,ingegnereescienziatoitaliano. Si occupò diarchitetturaescultura, fudisegnatore, trattatista, scenografo,anatomista,musicistae, in generale,progettistaeinventore. È considerato
uno dei più grandigenidell'umanità.
Leonardo è sempre stato affascinato da alcuni
problemi geometrici che risalgono all'antichità classica ed è convinto che la
geometria contenga la chiave per interpretare la natura. Durante il periodo
trascorso a Milano Leonardo diviene amico del matematico Luca Pacioli, il quale
gli fa conoscere gli studi della matematica di Euclide e Archimede. L'amicizia
tra i due migliora a tal punto che Leonardo disegna per Pacioli i cinque corpi
regolari (tetraedro, ottaedro, icosaedro, esaedro e dodecaedro) che illustravano
l'edizione ora perduta del "De Divina Proportione" di Pacioli.