Le Spirali

Spirale di Archimede

La spirale archimedea è stata inventata dal matematico,fisico e inventore greco Archimede (Siracusa, 287 a.C. – Siracusa, 212 a.C.).

Essa si sviluppa in modo tale che la distanza tra una "spira”e l'altra rimanga sempre uguale.

 L'equazione si rappresenta come:  

r=a*n*q 

dove [r] rappresenta  il raggio della spirale (o meglio la sua distanza dal centro nel punto considerato) ;

la [a] è la costante che definisce il passo fra i bracci di spirale;

[n] è il numero di giri compiuti dalla spirale;

e infine [q] è l'angolo preso in considerazione;

Costruzione:

Prendiamo due punti A e B e consideriamo una semicirconferenza di centro A e raggio AB. Puntiamo ora in B e, partendo da 1 tracciamo un’altra semicirconferenza di raggio 2 AB. Abbiamo costruito la base di una spirale di Archimede di passo costante: due volte la lunghezza del segmento AB. Puntando alternativamente in A e B e aggiungendo ogni volta al raggio precedente la lunghezza del segmento AB si crea la spirale di Archimede. 

PROPORZIONI AUREE

Presentiamo la trattazione geometrica della sezione aurea, partendo dai concetti principali e arrivando alla sua applicazione nelle figure geometriche, verificandone le proprietà.

Sezione aurea o parte aurea indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due.

Se a è la lunghezza maggiore e  b quella minore,

b : a = a : (a+b)

Lo stesso rapporto esiste anche tra la lunghezza minore e la loro differenza:

a : b = b : ( a-b )

In formule, indicando con a la lunghezza maggiore e con b la lunghezza minore, vale la relazione: 

Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della formula:

altro modo per calcolare il valore del numero aureo può essere ricavato dalla costruzione del rettangolo aureo; si può dedurre che equivale a:

Il valore così definito, che esprime la sezione aurea, è un numero irrazionale (cioè non rappresentabile come frazione di numeri interi) e algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi).

RETTANGOLO AUREO

Secondo molti artisti greci e italiani del Rinascimento, il rettangolo che maggiormente soddisfa il nostro senso estetico è quello in cui i lati stanno in rapporto aureo.

Si chiama rettangolo aureo il rettangolo avente un lato che è sezione aurea dell’altro. Ciò significa che il rapporto fra il lato maggiore e quello minore, a : b, è identico a quello fra il lato minore e il segmento ottenuto sottraendo quest'ultimo dal lato maggiore b : a-b.

COSTRUZIONE:

Per disegnare un rettangolo aureo si costruisce dapprima un quadrato, il cui lato corrisponderà al lato minore del rettangolo.
Si trova poi il punto medio di un lato e si punta su di esso un compasso con apertura sino a un vertice (non adiacente) del quadrato.

Il punto nel quale la circonferenza interseca il prolungamento del lato determina il secondo estremo del lato maggiore del rettangolo.

La dimostrazione è veloce:

Considerando 1 il lato del quadrato, l'apertura del compasso che punta nel punto medio risulta, applicando il teorema di Pitagora:

.

Considerando che il segmento di tale lunghezza va aggiunto ad una porzione pari a ½ del lato, il lato maggiore costruito misurerà complessivamente:

Il rettangolo aureo può essere ricavato anche all'interno del perimetro del quadrato, con un metodo che ricalca quello usato per dividere un segmento in proporzione aurea:

1. Si traccia una diagonale da un vertice a uno dei punti medi dei lati.

2. Si riporta sulla diagonale una lunghezza uguale a ½ lato del quadrato.
3. La lunghezza restante la si riporta su un lato, completando poi il rettangolo.

Il rettangolo di maggiori dimensioni così ottenuto è un rettangolo aureo, che sta in proporzione 1/φ al quadrato iniziale, mentre il più piccolo ricavato è uguale alla somma di tutti i rettangoli aurei ricavabili all'interno del principale.

Ripetendo più volte tale costruzione, si ottiene una successione di quadrati, ognuno dei quali ha il lato che è sezione aurea del lato del quadrato successivo. Costruendo in ogni quadrato un arco di circonferenza come indicato nella figura, si ottiene una curva detta spirale logaritmica o spirale aurea.

SPIRALE AUREA

La spirale aurea ( o logaritmica) fu descritta per la prima volta da Cartesio nel 1638.  Altre sue proprietà furono scoperte dopo cinquanta anni da Jackob Bernoulli, matematico svizzero, che la definì “spirale meravigliosa”. Ne rimase affascinato a tal punto che richiese di averne una scolpita sulla sua pietra tombale, accompagnata dalla scritta latina "Eadem mutata resurgo" (Sebbene cambiata, rinasco identica).  A differenza della spirale di Archimede, il passo della spirale aurea non è constante ma segue una progressione geometrica. Il matematico svizzero Jacob Bernoulli la definì “ la spirale meravigliosa”. La Spirale Aurea è basata su una serie di quadrati che possono essere costruiti dentro il rettangolo aureo:

	Per iniziare la costruzione si disegna un arco da un angolo del         rettangolo fino ad intersecare il lato adiacente. Quindi    conduciamo un segmento perpendicolare al lato che è stato  intersecato, dal punto d'intersezione al lato opposto.
	Ripetiamo il procedimento per formare un altro quadrato...
	.. e così via.
	Disegnando archi con sequenze di quadrati, si può costruire la  spirale logaritmica nota come Spirale Aurea.